محتويات
المتطابقات المثلثية
- في هذا المقال، سنعرض معلومات مفصلة حول المعادلات المثلثية، التي تعتبر المثلثات من الأشكال الهندسية البارزة في علم الهندسة. يتكون المثلث من ثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس، وهي نقاط التقاء هذه الأضلاع.
- تحتوي المثلثات على ثلاث زوايا، مجموعها يبلغ 180 درجة، وقد تحتوي بعض الأنواع على زوايا متساوية. تعتبر الأضلاع في المثلث مستقيمة، ومن الشروط الأساسية للمثلث أن يكون مجموع طول أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث.
- تمثل الزوايا الثلاث للمثلث الزوايا الداخلية، كما يحتوي على زوايا خارجية، حيث يُعادل قياس الزاوية الخارجية مجموع الزاويتين الداخليتين.
- من الحالات المهمة للمثلث هي حالة تشابه المثلثين، حيث تكون قياسات الزوايا متساوية، بينما حالة التطابق تحدث عندما تكون أطوال جميع الأضلاع متساوية أو عندما تتساوى زوايا المثلثين.
مفهوم علم حساب المثلثات
- ترتبط العديد من النظريات في قوانين المثلثات بعلم حساب المثلثات، وهو مصطلح يعود جذوره إلى كلمة “trigonon” التي تعني مثلث.
- يُعنى علم حساب المثلثات بحساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث، ويهتم أيضًا بدراسة القوانين والنظريات المرتبطة بالعلاقات بين الأطوال والزوايا، سواء الداخلية أو الخارجية.
المتطابقات المثلثية الأساسية
تشمل المتطابقات المثلثية الأساسية مجموعة من النسب المثلثية المرتبطة بالمثلث القائم الزاوية، وهي كالتالي:
جيب الزاوية
يُرمز لجيب الزاوية بالرابط “جا”، ويتم حسابه في المثلث القائم الزاوية بقسمة طول الضلع المقابل على طول الوتر. إذا كانت الزوايا في المثلث هي أ، ب، ج، فإن جيب الزاوية ب يتم حسابه كالتالي: طول الضلع المقابل لزاوية ب مقسومًا على طول الوتر.
جيب التمام
يُرمز لجيب التمام بالرمز “جتا”، ويُحسب بتقسيم طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الوتر المتقابل لها، مستخدمًا نفس القانون المستخدم في حساب جيب الزوايا.
الظل
يُشار إلى ظل الزاوية بالرمز “ظا”، ويتم حسابه عن طريق قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على طول الوتر. كما يمكن أيضًا حسابه باستخدام النسبة بين جيب الزاوية وجيب التمام إذا كانت القيمتان متاحتين.
ظل التمام
يُرمز لظل التمام بالحرف “ظتا”. يُحسب ظل التمام عن طريق قسمة طول الضلع المجاور للزاوية على الطول المقابل لها. إذا كانت لدينا قيمة جيب الزاوية وجيب التمام، يمكننا حساب ظل التمام باستخدام المعادلة: جتا الزاوية / جا الزاوية.
القاطع
يتم تمثيل القاطع بـ “قا”، ويمكن حسابه من خلال قسمة الضلع المجاور للزاوية على طول الوتر. عند توفر قيمة جيب التمام، يمكن حساب القاطع بقسمة 1 على الجيب التمام.
قاطع التمام
الرمز الرياضي لقاطع التمام هو “قتا”. يتم حسابه من خلال قسمة طول الضلع المقابل على طول الوتر، أو بإجراء العملية 1 / جا الزاوية.
المتطابقات المثلثية الفرعية
متطابقات فيثاغورس
تتكون متطابقات فيثاغورس من ست عمليات حسابية تشمل جيب الزاوية وجيب التمام وظل الزاوية، جميعها تعطي الناتج 1. وفيما يلي توضيح لنظريات هذه العمليات:
- مربع جيب الزاوية بالإضافة إلى مربع جيب تمام الزاوية يساوي 1، أي (جا² س + جتا² س = 1).
- مربعات الجانب المجاور ومربعات الظل المجاور تساوي 1، وبالتالي، قاطع المجاور + ظل المجاور = 1.
- العلاقة بين مربع القطر القاطع ومربع الظل المحيطي هي: قطر المربع + ظل المربع = 1.
متطابقات ضعف الزاوية
تُستخدم هذه المتطابقات للعثور على جيب وجيب التمام للزاوية الضعيفة كما يلي:
- جيب ضعف الزاوية = 2 × جيب الزاوية الأصلية، ما يعني 2س = 2جاس جتاس.
- جيب الزاوية الضعيفة يتعلق بمربعات جيب الزاوية المكملة مطروحًا منها مربع جيب الزاوية الأصلية، وبالتالي يكون: جت الزاوية = جت²س – جا²س.
- يمكن تفسير ضعف الزاوية باستخدام المعادلة: ضعف ظل الزاوية يساوي 2ظا س مقسومًا على (1- مربع ظل الزاوية).
- ظل تمام ضعف الزاوية يمكن تحديده بواسطة المعادلة: ظتا 2 س = (ظتا² س -1) ÷ 2ظتا س.
متطابقات نصف الزاوية
يتم حساب جيب وجيب التمام وظل وظل التمام لنصف الزاوية كالآتي:
- جيوب نصف الزاوية:
جا (س/2)=± ((1-جتا س)/2)√.
جتا (س/2)=± ((1+جتا س)/2)√.
ظا (س/2)=± ((1-جتا س)/(1+جتا س))√= جاس/(1+جتا س)= 1-جتا س/ جا س= قتا س-ظتا س. - ظل تمام نصف الزاوية:
ظتا (س/2)= ± ((1+جتا س)/(1-جتا س))√= جاس/(1-جتا س)= 1+جتا س/جا س= قتا س+ظتا س.
استخدامات المتطابقات المثلثية في الحياة
علم الجريمة
تبرز أهمية المتطابقات المثلثية في تحليل عناصر الجريمة، لاسيما في تحديد زاوية توجيه رصاص البندقية وطرق وقع الأجسام المختلفة.
علم الملاحة
تلعب المتطابقات المثلثية دورًا مهمًا في الأحياء البحرية، حيث تُستخدم لتحديد اتجاهات البوصلة والمسافات والمواقع الجغرافية.
علم الأحياء البحرية
يتيح علم الأحياء البحرية للعلماء دراسة تأثير ضوء الشمس على الكائنات البحرية، مثل الطحالب، كما تسهم المتطابقات المثلثية في فهم الخصائص والصفات الخاصة بالحيوانات البحرية.
الصناعة
تدخل المتطابقات المثلثية في مجالات صناعية متعددة، بما في ذلك صناعة السيارات، حيث تساعد على احتساب أحجام العناصر، كما تؤثر في تصميم العديد من الآلات والمعدات مثل معدات الحياكة.
الطيران
تُستخدم المتطابقات المثلثية في الطيران لتحديد المسافات والسرعات والاتجاهات، فضلاً عن قياس سرعة الرياح.
إضافة إلى ما سبق، تُستخدم المتطابقات المثلثية في:
- قياس أنظمة الأقمار الصناعية.
- تحديد ارتفاع الأمواج في المحيطات.
- قياس الموجات الصوتية والضوئية.
- تصميم الخرائط في علم الجغرافيا.
- تحديد ارتفاعات المرتفعات والمباني المتنوعة.
- قياس ارتفاع أبراج الدعم باستخدام الكاشفة في الهندسة والعمارة.
للمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية، يمكنك زيارة .
تابعوا المزيد من المقالات حول الموضوعات العلمية الممتعة: –
استعرضنا مفهوم حساب المثلثات ومتطابقاته الأساسية والفرعية، بالإضافة إلى توضيح أهميتها في حياتنا اليومية.